Statistik og sandsynlighed
Denne side gennemgår første blok i årsplanen: at beskrive data (gennemsnit, median, typetal, spredning, kvartiler og boksplot), at vælge og aflæse diagrammer og sumkurver, at være kildekritisk over for tal og grafer, og at regne med sandsynlighed. Hvert modul har en quiz med spørgsmål i stigende sværhedsgrad. Du kan bruge siden i klassen, alene til repetition, eller printe den som opgaveark.
1 Beskriv data
Når du har en talrække, kan du beskrive den med et par tal: hvor midten ligger, og hvor spredt tallene er.
Gennemsnit (middelværdi): læg alle tal sammen og divider med antallet. Median: det midterste tal, når tallene er sorteret. Typetal: det tal, der optræder flest gange.
Eksempel på talrækken 4, 7, 7, 9, 13:
Variationsbredde = største tal − mindste tal. Kvartiler deler de sorterede tal i fire lige store dele: nedre kvartil (Q1), median (Q2) og øvre kvartil (Q3). Kvartilbredde = Q3 − Q1.
For 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12: median = 7, nedre kvartil Q1 = 4 (midten af 2,4,5), øvre kvartil Q3 = 10 (midten af 8,10,12). Kvartilbredde = 10 − 4 = 6.
Boksplot
Et boksplot tegner de fem tal: mindste, Q1, median, Q3 og største. Kassen går fra Q1 til Q3, og stregen inde i kassen er medianen.
Opgave A Beskriv talrækken
Talrækken 3, 5, 5, 6, 8, 9, 13 er antal mål, ungerne har scoret i syv håndboldkampe. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.
- Beregn gennemsnittet.
- Find medianen og typetallet.
- Beregn variationsbredden.
- Find nedre kvartil (Q1) og øvre kvartil (Q3), og beregn kvartilbredden.
- Tegn et boksplot over talrækken.
- Tag derefter talrækken
2, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14(11 observationer): find de fem tal til et boksplot (mindste, Q1, median, Q3, største), og tegn det.
Test dig selv: beskriv data
Brug talrækken i spørgsmålet. Svar og forklaring kommer med det samme.
4, 7, 7, 9, 13? Let4, 7, 7, 9, 13? Let4, 7, 7, 9, 13? Let4, 7, 7, 9, 13? Mellem2, 4, 5, 7, 8, 10, 12? Mellem2, 4, 5, 7, 8, 10, 12? Svær2, 4, 5, 7, 8, 10, 12? Svær2 Diagrammer og sumkurve
Forskellige data kaldes på forskellige diagrammer. Og med frekvenser kan du sammenligne grupper af forskellig størrelse.
Frekvens = antal i en kategori ÷ det samlede antal. Den skrives ofte i procent. Kumuleret frekvens = summen af frekvenserne til og med et interval.
Eksempel: 25 unger, 5 kan bedst lide rød. Frekvensen for rød er 525 = 0,20 = 20 %.
Cirkeldiagram
Viser andele af en helhed, fx procentfordeling.
Søjle-/pindediagram
Sammenligner kategorier eller enkelte tal.
Histogram
Bruges til grupperede talobservationer (intervaller).
Sumkurve
Viser den kumulerede frekvens og bruges til at aflæse median og kvartiler.
Aflæsning på en sumkurve
På en sumkurve aflæser du medianen ved 50 %, nedre kvartil ved 25 % og øvre kvartil ved 75 %: gå vandret ind fra procenten til kurven og lodret ned til værdien.
Opgave B Frekvens og sumkurve
20 unger i klassen er blevet spurgt om deres yndlingssport: Fodbold 8, Håndbold 5, Svømning 4, Andet 3. Og 40 unger har svaret på, hvor mange kroner de får i lommepenge om måneden:
| Lommepenge (kr) | 0–100 | 100–200 | 200–300 | 300–400 | 400–500 |
|---|---|---|---|---|---|
| Hyppighed | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
- Lav en tabel med hyppighed og frekvens i procent for de fire sportsgrene.
- Hvilken kategori er typetallet?
- Beregn, hvor mange grader hver sportsgren fylder i et cirkeldiagram, og tegn diagrammet.
- Hvilket diagram ville du vælge, hvis du skulle sammenligne med en klasse på 25 unger? Begrund dit svar.
- Lommepengene: lav en tabel med kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens i procent.
- Tegn sumkurven, og aflæs medianen, nedre kvartil og øvre kvartil.
- Hvor mange procent af ungerne får under 300 kr om måneden?
Test dig selv: diagrammer og sumkurve
Frekvens, diagramtyper og sumkurve.
3 Kildekritik og manipulation
Tal og grafer kan bruges til at vildlede. Du skal kunne gennemskue, når en fremstilling snyder.
Tjek altid: Starter y-aksen ved 0? Passer delene i et cirkeldiagram sammen til 100 %? Er stikprøven repræsentativ — ligner den hele gruppen, den skal sige noget om? Hvem har lavet fremstillingen?
Eksempel: to søjler på 102 og 105 ser 2,5 gange så høje ud, hvis y-aksen starter ved 100 i stedet for 0 — selvom den reelle forskel kun er 2,94 %.
Opgave C Gennemskue fremstillingen
Se kritisk på tallene. Skriv for hvert punkt, hvad der teknisk set er rigtigt, og hvad der vildleder.
- En graf viser to søjler på 102 og 105, og y-aksen starter ved 100. Hvor mange procent er forskellen i virkeligheden? Hvorfor ser den meget større ud?
- Et cirkeldiagram har tre dele på 45 %, 40 % og 35 %. Hvad er der galt?
- 12 af skolens 600 unger er spurgt om skolemaden — alle fra samme klasse. Hvor mange procent af skolen er spurgt? Nævn to grunde til, at stikprøven er skæv.
- "Antallet af cykeltyverier er fordoblet." Sidste år var der 3, i år er der 6. Er overskriften teknisk rigtig? Er den vildledende? Forklar.
- Find selv et eksempel fra en avis, en reklame eller sociale medier på et tal eller en graf, der kan vildlede, og forklar tricket.
Test dig selv: kildekritik
Gennemsku manipulation.
4 Sandsynlighed
Sandsynlighed fortæller, hvor tit noget sker. Den er et tal mellem 0 (sker aldrig) og 1 (sker altid).
For lige mulige udfald: P(hændelse) = antal gunstige udfald ÷ antal mulige udfald. Sandsynligheden for at noget ikke sker = 1 − P(hændelse).
Teoretisk sandsynlighed
Regnet ud fra modellen, fx at en terning har 6 lige mulige sider.
Statistisk sandsynlighed
Bygger på forsøg og data — hvor tit skete det i virkeligheden.
Eksempel: en terning. P(6) = 16. P(lige tal) = 36 = 12. P(ikke 6) = 1 − 16 = 56.
Opgave D Regn med chancen
En pose indeholder 3 røde, 4 blå og 5 grønne kugler. Skriv alle sandsynligheder som brøk.
- Beregn P(rød), P(blå eller grøn) og P(ikke grøn).
- Du trækker to kugler med tilbagelægning. Beregn sandsynligheden for to røde.
- Du trækker to kugler uden tilbagelægning. Beregn sandsynligheden for to røde.
- Du kaster to terninger. Beregn sandsynligheden for, at summen bliver 7 — og skriv alle de gunstige udfald op.
- Klasseøvelse: kast to mønter 40 gange, og notér hvor mange gange begge viser plat. Sammenlign jeres statistiske sandsynlighed med den teoretiske på 14.
- Forklar med dine egne ord forskellen på teoretisk og statistisk sandsynlighed.
Test dig selv: sandsynlighed
Regn med lige mulige udfald.
Blandet quiz — hele emnet
Spørgsmål på tværs af statistik og sandsynlighed.
3, 5, 10? Let3, 5, 10? LetGå gerne tilbage og læs et modul igen, hvis et spørgsmål driller.
R Dine resultater
Løs opgaverne, så udfyldes din oversigt her. Skriv dit fornavn øverst, hvis du vil have dit resultat gemt.
| Modul | Rigtige | Besvaret |
|---|