Velkommen

Skriv dit fornavn, så gemmes dine svar og dit resultat i denne browser. Så kan du fortsætte, hvor du slap, næste gang.

Matematik · Manipulation
9. klasse · kernestof

Manipulation

Tal lyver ikke. Men mennesker kan sagtens lyve med tal — og som regel uden at skrive et eneste forkert tal. På denne side lærer du de tre steder, hvor det sker: i stikprøven, i diagrammet og i ordene omkring tallet. Når du er færdig, kan du gennemskue en reklame, en overskrift og et diagram, og du kan sætte ord på præcis hvad der er galt.

Quiz-fremgang: 0 af 0 spørgsmål besvaret

1 Stikprøven

Man kan sjældent spørge alle. I stedet spørger man nogle få og regner med, at de ligner resten. Det er dér, det kan gå galt.

Regneregel · de tre ord
Population er hele den gruppe, undersøgelsen handler om — fx alle unger i 9. klasse i Danmark. Stikprøven er de få, man rent faktisk spørger. Stikprøven er repræsentativ, hvis den ligner populationen på de ting, der har betydning for spørgsmålet.
Repræsentativ stikprøve Skæv stikprøve 12 ud af 100 — spredt over hele gruppen 12 ud af 100 — alle fra samme hjørne
Begge stikprøver har præcis samme størrelse. Den til højre er alligevel ubrugelig, fordi de udvalgte ikke ligner gruppen som helhed.

Fire måder en stikprøve bliver skæv

Selvselektion

Folk vælger selv at deltage. Dem, der har en stærk mening, svarer oftest. En afstemning på en hjemmeside rammer kun dem, der i forvejen besøger den.

Bortfald

Man spørger 1000, men kun 90 svarer. De 910, der ikke svarede, kan sagtens mene noget helt andet.

Ledende spørgsmål

"Synes du også, at lektier er spild af tid?" giver et andet svar end "Hvad synes du om lektier?"

Forkert sted eller tid

Spørger man om motionsvaner uden for et fitnesscenter kl. 7 om morgenen, får man ikke et billede af befolkningen.

Størrelsen er ikke det vigtigste. En skæv stikprøve på 10.000 er dårligere end en repræsentativ på 500. Det klassiske eksempel er en amerikansk avis, der i 1936 spurgte over to millioner mennesker om præsidentvalget og alligevel forudsagde den forkerte vinder — fordi de kun havde spurgt folk med telefon og bil, som dengang var de rigeste.
Sådan gør man det rigtigt. Man trækker deltagerne tilfældigt fra hele populationen, så alle har samme chance for at blive valgt. Skal grupperne være sikret, deler man først populationen op — fx efter klassetrin — og trækker tilfældigt inden for hver gruppe.

Opgave A Vurder stikprøven

Skriv for hver undersøgelse, hvad populationen er, hvad stikprøven er, og hvilken af de fire skævheder der er på spil.

  1. En avis spørger på sin hjemmeside: "Er du utryg i nattelivet?" 4.200 svarer, og 78 % siger ja.
  2. Et teleselskab sender et spørgeskema til alle sine kunder. 6 % svarer, og 91 % af dem er tilfredse.
  3. Formanden for skolens ungeråd spørger de 22 unger i sin egen klasse, om skolen skal have længere pauser, og skriver bagefter "et flertal på skolen ønsker længere pauser".
  4. En undersøgelse om unges søvn deles i en gaming-gruppe på Discord kl. 2 om natten.
  5. Foreslå for hver af de fire, hvordan undersøgelsen kunne laves bedre.
Quiz · Modul 1

Test dig selv: stikprøven

Du får svar og forklaring med det samme.

1. Hvad kaldes hele den gruppe, en undersøgelse handler om? Let
2. En afstemning på en hjemmeside, hvor alle selv kan vælge at stemme, er ramt af? Let
3. 1.000 kunder får et skema, 60 svarer. Hvad er problemet? Mellem
4. Hvad er bedst: en skæv stikprøve på 10.000 eller en repræsentativ på 500? Mellem
5. "Synes du også, at skolemaden er for dyr?" Hvad er galt? Svær
6. Hvordan sikrer man bedst en repræsentativ stikprøve? Udfordring
0 / 6 rigtige Videre til diagrammerne.

2 Diagrammet

Et diagram er et billede af tal. Og et billede kan man gøre meget ved, uden at ændre et eneste tal.

Trick 1: y-aksen starter ikke i nul

Det mest udbredte trick. Når man skærer bunden af, bliver små forskelle til store spring. Begge diagrammer herunder viser de samme seks tal:

99,8100,6101,5 janfebmaraprmajjun "Eksplosiv vækst!"
Y-aksen går fra 99,8 til 101,5.
060120 janfebmaraprmajjun 1,3 % på et halvt år
Y-aksen går fra 0. Samme seks tal.
Månedjanfebmaraprmajjun
Tal100,0100,4100,2100,8101,1101,3
Regneregel · søjler og linjer
I et søjlediagram skal y-aksen altid starte i nul, fordi man sammenligner søjlernes højde. I et linjediagram må man gerne zoome ind, hvis man vil vise små udsving — men så skal det være tydeligt markeret, hvor aksen starter.

Trick 2: arealet i stedet for højden

Skal en værdi fordobles, gør man ofte figuren dobbelt så bred og dobbelt så høj. Så fylder den fire gange så meget på papiret, og øjet aflæser fire, ikke to.

2024: 1 mio. 2025: 2 mio. Værdien er fordoblet — men figuren fylder 4 gange så meget
60 · 60 = 3.600 mod 120 · 120 = 14.400. Arealet er firedoblet, selvom tallet kun er fordoblet.

Trick 3: udsnittet af tiden

Man vælger netop det stykke af kurven, der viser det, man gerne vil vise. Det kaldes cherry-picking.

"Se den flotte vækst" janfebmaraprmajjunjulaugsepoktnovdec Antal brugere (i tusinder) — hele året falder fra 50 til 36
Hele året viser et fald på 14 tusinde brugere. Viser man kun april, maj og juni, ser det ud som vækst. Begge dele er sande tal — men kun det ene er et sandt billede.

Trick 4: cirklen der går over 100 %

Et cirkeldiagram skal altid summere til præcis 100 % og 360°. Gør det ikke det, er tallene enten forkerte, eller også kunne man vælge flere svar — og så er cirkeldiagrammet den forkerte diagramtype.

  • Video 45 %
  • Spil 30 %
  • Sociale medier 25 %
  • Musik 15 %
  • I alt 115 %
Flere tricks, du skal kunne fange: en manglende akse eller manglende enhed · to y-akser i samme diagram, så to kurver ser ud til at følges ad · uens brede intervaller på x-aksen · et 3D-diagram, hvor den forreste søjle ser størst ud, fordi den er tættest på.

Opgave B Find fejlen i diagrammet

  1. Se på de to linjediagrammer øverst i modulet. Hvor mange procent er tallet i alt steget fra januar til juni? Regn efter.
  2. Forklar med dine egne ord, hvorfor det venstre diagram giver et forkert indtryk, selvom alle seks tal er rigtige.
  3. I arealtricket: hvor mange gange større er det store kvadrats areal? Vis udregningen.
  4. Tegn selv de to millioner om, så figuren giver et ærligt billede. Hvad skal man gøre i stedet?
  5. Cirkeldiagrammet summer til 115 %. Nævn to forskellige forklaringer på, hvordan det kan være sket.
  6. Se på kurven over de tolv måneder. Find selv et andet udsnit på tre måneder, der får det til at se ud, som om tallet styrtdykker.
Quiz · Modul 2

Test dig selv: diagrammet

Brug figurerne ovenfor.

1. Hvorfor skal y-aksen i et søjlediagram starte i nul? Let
2. En figur gøres dobbelt så bred og dobbelt så høj. Hvor mange gange større bliver arealet? Let
3. Man viser kun tre af årets tolv måneder, fordi kurven stiger der. Hvad kaldes det? Mellem
4. Et cirkeldiagram har udsnit på 45, 30, 25 og 15 %. Hvad kan du konkludere? Mellem
5. Kurven går fra 100,0 til 101,3. Hvor mange procent er det steget? Svær
6. Hvornår er det i orden at lade y-aksen starte et andet sted end nul? Udfordring
0 / 6 rigtige Sidste modul: ordene omkring tallet.

3 Tallet og teksten

Nogle gange er både tallet og diagrammet i orden. Så ligger manipulationen i ordene omkring dem.

Gennemsnit eller median?

Du kender det fra statistikken: få meget høje tal trækker gennemsnittet op. Derfor kan man vælge netop det tal, der passer bedst til det, man vil sige.

18.000, 19.000, 20.000, 21.000, 92.000
Fem ansatte i en lille virksomhed, månedsløn i kroner.
gns = 170.0005 = 34.000
"Vores medarbejdere tjener i gennemsnit 34.000."
median = 20.000
Fire ud af fem tjener 21.000 eller mindre.
Regneregel · procent og procentpoint
Går noget fra 4 % til 6 %, er det steget 2 procentpoint — men 50 procent. Begge tal er rigtige. Den, der vil imponere, skriver 50 %. Den, der vil berolige, skriver 2 procentpoint. Kig altid efter, hvilken af de to der er brugt.
Regneregel · relativ og absolut
"Risikoen fordobles" lyder alarmerende. Men hvis risikoen går fra 1 ud af 100.000 til 2 ud af 100.000, er den absolutte stigning 1 ud af 100.000. Spørg altid: fordobles hvad, og fra hvilket udgangspunkt?
Sammenhæng er ikke det samme som årsag. I de måneder, hvor der sælges flest is, drukner flest mennesker. Is får ikke folk til at drukne — det er varmen, der får begge tal til at stige. To tal kan følges ad, uden at det ene forårsager det andet.

Ord, der skal få dig til at kigge en ekstra gang

"op til"

"Op til 60 % rabat" kan betyde, at én enkelt vare er sat 60 % ned, og resten 5 %.

"9 ud af 10"

Ud af hvor mange adspurgte? Ni ud af ti kan være ni personer.

"dobbelt så sikker"

Sikker sammenlignet med hvad? Og hvordan er sikkerhed målt?

"undersøgelse viser"

Hvem har betalt for undersøgelsen? Og hvem har lavet den?

Opgave C Oversæt overskriften

Skriv for hver overskrift, hvad der teknisk set er rigtigt, og hvad der er vildledende.

  1. "Antallet af unger med topkarakter er steget 100 % på et år." Sidste år var der 2, i år er der 4.
  2. "Vores medarbejdere tjener i gennemsnit 34.000 om måneden." Brug lønnen fra eksemplet ovenfor.
  3. "Nyt studie: risikoen fordobles." Risikoen går fra 3 ud af 10.000 til 6 ud af 10.000. Hvor mange flere personer ud af 10.000 rammes?
  4. "Op til 70 % rabat på hele butikken."
  5. "Tilslutningen steg fra 8 % til 12 %." Skriv stigningen både i procentpoint og i procent.
  6. Find selv en overskrift med et tal i, og skriv hvilke tre spørgsmål du ville stille, før du troede på den.

Opgave D Lav din egen manipulation

I skal to og to lave to versioner af den samme lille undersøgelse i klassen.

  1. Find et spørgsmål, I kan stille klassen, fx om skoledagens længde eller mobilregler.
  2. Skriv spørgsmålet på to måder: en neutral og en ledende.
  3. Spørg halvdelen af klassen med den ene version og halvdelen med den anden.
  4. Tegn resultaterne i to diagrammer: et ærligt og et manipuleret.
  5. Fremlæg begge dele, og forklar præcis hvilke greb I har brugt.
Quiz · Modul 3

Test dig selv: tallet og teksten

Regn med, før du svarer.

1. Noget går fra 4 % til 6 %. Hvor mange procentpoint er det steget? Let
2. Lønnen er 18.000, 19.000, 20.000, 21.000 og 92.000. Hvilket tal beskriver bedst en typisk ansat? Let
3. Antallet går fra 2 til 4. Overskriften siger "en stigning på 100 %". Er det rigtigt? Mellem
4. Risikoen går fra 3 til 6 ud af 10.000. Hvor mange flere ud af 10.000 rammes? Mellem
5. Der sælges flest is i de måneder, hvor flest drukner. Hvad kan man konkludere? Svær
6. "Op til 70 % rabat på hele butikken." Hvad er mindstekravet, for at det er sandt? Udfordring
0 / 6 rigtige Sidste stop: den blandede quiz.
Afslutning

Blandet quiz — hele emnet

Spørgsmål på tværs af stikprøven, diagrammet og teksten.

1. Hvad betyder det, at en stikprøve er repræsentativ? Let
2. Hvor mange grader skal udsnittene i et cirkeldiagram give tilsammen? Let
3. "9 ud af 10 anbefaler det." Hvad er det vigtigste spørgsmål at stille? Mellem
4. En figur gøres tre gange så bred og tre gange så høj. Hvor mange gange større bliver arealet? Mellem
5. Tilslutningen går fra 8 % til 12 %. Hvad er stigningen i procent? Svær
6. Et firma betaler for en undersøgelse, hvor kunderne selv melder sig. Hvad er problemet? Svær
7. Hvad er den vigtigste pointe i hele emnet? Udfordring
0 / 7 rigtige

Du kan altid gå tilbage og læse afsnittene igen, hvis et spørgsmål driller.

R Dine resultater

Løs opgaverne, så udfyldes din oversigt her automatisk. Skriv dit fornavn øverst, hvis du vil have dit resultat gemt.

ModulRigtigeBesvaret