Velkommen

Skriv dit fornavn, så gemmes dine svar og dit resultat i denne browser. Så kan du fortsætte, hvor du slap, næste gang.

Matematik · Funktioner og ligninger
9. klasse · kernestof

Funktioner og ligninger

Denne side gennemgår det, du skal kunne om ligninger og lineære funktioner i 9. klasse: at løse ligninger med parenteser, brøker og x på begge sider, at forstå forskriften y = ax + b, og at aflæse og tegne grafer. Hvert modul har en forklaring med regneregler og eksempler, og en quiz med spørgsmål i stigende sværhedsgrad. Du kan bruge siden i klassen på tavlen, alene når du repeterer, eller printe den som opgaveark.

Quiz-fremgang: 0 af 0 spørgsmål besvaret

1 Ligninger

En ligning er to udtryk, der er lige store, med et lighedstegn imellem. At løse en ligning betyder at finde den værdi af x, der gør ligningen sand.

Tænk på lighedstegnet som en vægt i balance. Alt, hvad du gør på den ene side, skal du også gøre på den anden, ellers tipper vægten. Det er hele hemmeligheden bag at løse ligninger.

Regneregel · de fire tilladte træk
Du må lægge det samme til på begge sider, trække det samme fra på begge sider, gange begge sider med det samme tal, og dividere begge sider med det samme tal (undtagen 0). Målet er altid det samme: få x til at stå alene.

Eksempel: en simpel ligning

Løs 2x + 4 = 12. Vi fjerner først +4 og bagefter faktoren 2.

2x + 4 = 12
Vi starter her.
2x = 12 − 4 = 8
Træk 4 fra på begge sider.
x = 82 = 4
Divider begge sider med 2. Prøve: 2·4 + 4 = 12.

Regneregel: reducer først (saml ens led)

Regneregel · reduktion
Led med x kan lægges sammen: 3x + 2x = 5x. Tal kan lægges sammen med tal. Bogstav og tal kan ikke slås sammen — 5x + 3 kan ikke reduceres yderligere.

Løs 3x + 2x − 4 = 11.

3x + 2x − 4 = 11
Saml de to x-led.
5x − 4 = 11
3x + 2x = 5x.
5x = 15
Læg 4 til på begge sider.
x = 3
Divider med 5.

Regneregel: parenteser

Regneregel · gang ind i parentes
Tallet uden for parentesen ganges ind på hvert led indeni: a(b + c) = a·b + a·c. Et minus foran en parentes vender fortegnet på alle led: −(x − 3) = −x + 3.

Løs 2(x + 3) = 14.

2(x + 3) = 14
Gang 2 ind i parentesen.
2x + 6 = 14
2·x + 2·3.
2x = 8
Træk 6 fra.
x = 4
Divider med 2.

Regneregel: ligninger med brøker

Regneregel · gang brøken væk
Står x i en brøk, ganger du begge sider med nævneren, så brøken forsvinder. Har ligningen flere brøker, ganger du med det tal, alle nævnere går op i.

Løs x2 + 1 = 5.

x2 + 1 = 5
Træk 1 fra først.
x2 = 4
Nu står brøken alene.
x = 4 · 2 = 8
Gang begge sider med 2.

Ligninger med x på begge sider

Husk fortegnet. Når et led flytter over på den anden side af lighedstegnet, skifter det fortegn. +4 bliver til −4. Det er blot en hurtig måde at sige "læg til / træk fra på begge sider".

Løs 5x − 3 = 2x + 9.

5x − 3 = 2x + 9
Saml x-led til venstre.
3x − 3 = 9
Træk 2x fra på begge sider.
3x = 12
Læg 3 til.
x = 4
Divider med 3. Prøve: 5·4 − 3 = 17 = 2·4 + 9.

Opgave A Løs ligningerne

Løs ligningerne én ad gangen. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

  1. x − 9 = 4
  2. 3x + 7 = 22
  3. 6x − 2x + 5 = 21
  4. 5(x − 2) = 25
  5. x3 − 2 = 4
  6. 7x + 4 = 3x + 24
  7. 3(x + 4) = 5(x − 2)
  8. Lav prøve på tre af dine svar: sæt tallet ind i den oprindelige ligning, og tjek at de to sider giver det samme.

Opgave B Fra tekst til ligning

Opstil først en ligning, og løs den bagefter. Skriv altid hvad x står for. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

  1. En taxa koster 40 kr i startgebyr og 12 kr pr. kilometer. Turen kostede 160 kr. Hvor mange kilometer kørte den?
  2. To mobilabonnementer: A koster 60 kr om måneden plus 3 kr pr. GB. B koster 120 kr om måneden plus 1 kr pr. GB. Ved hvor mange GB koster de det samme? Hvilket er billigst ved 40 GB?
  3. Tre hele tal, der følger lige efter hinanden, giver tilsammen 96. Hvilke tre tal er det?
  4. Et rektangel har omkredsen 46 cm og er 5 cm længere end det er bredt. Find længden og bredden.
  5. Skriv selv en tekstopgave, hvor svaret bliver x = 7. Byt med sidemakkeren, og løs hinandens.
Quiz · Modul 1

Test dig selv: ligninger

Spørgsmålene bliver sværere undervejs. Du får svar og forklaring med det samme.

1. Løs x + 7 = 12. Let
2. Løs 2x + 5 = 17. Let
3. Løs 4x + 3x = 28. Mellem
4. Løs 4x − 2 = x + 10. Mellem
5. Løs 3(x + 2) = 18. Svær
6. Løs x4 + 3 = 5. Svær
7. Løs 2(x + 3) = 4(x − 1). Udfordring
0 / 7 rigtige Ret dine fejl, og gå videre til lineære funktioner.

2 Lineære funktioner

En funktion er en regel, der til hvert x-tal giver præcis ét y-tal. En lineær funktion giver altid en ret linje, når man tegner den.

y = a · x + b a er hældningen (stigningstallet) · b er skæringen med y-aksen (begyndelsesværdien)

Hvad betyder a og b?

b — skæring med y-aksen

Det er y-værdien, når x = 0. Grafen skærer y-aksen i punktet (0, b). "Startværdien".

a — hældning

Hvor meget y ændrer sig, hver gang x vokser med 1. Positiv a: linjen går opad. Negativ a: linjen går nedad.

Se på y = 2x + 1. Her er a = 2 og b = 1. Linjen skærer y-aksen i (0, 1), og for hvert skridt til højre går den 2 op.

x y (0, 1)
Grafen for y = 2x + 1. Det grønne punkt (0, 1) er skæringen med y-aksen (b = 1). Fra det punkt går linjen 2 op for hvert 1 til højre (a = 2).

Regneregel: find hældningen a fra to punkter

Regneregel · hældning
Kender du to punkter (x₁, y₁) og (x₂, y₂): a = y₂ − y₁x₂ − x₁ — altså ændringen i y divideret med ændringen i x.

Linjen gennem (1, 3) og (4, 9): a = 9 − 34 − 1 = 63 = 2.

Regneregel: find hele forskriften fra to punkter

Regneregel · bestem forskrift
Find først a med formlen ovenfor. Sæt derefter et af punkterne ind i y = ax + b og løs for b.

Punkterne (1, 5) og (3, 11). Først a = 11 − 53 − 1 = 62 = 3. Sæt (1, 5) ind: 5 = 3·1 + b, så b = 2. Forskriften er y = 3x + 2.

Regneregel: nulpunkt (hvor grafen skærer x-aksen)

Regneregel · nulpunkt
På x-aksen er y = 0. Sæt y = 0 og løs ligningen for x.

For y = 2x − 6: sæt 0 = 2x − 6, så 2x = 6 og x = 3. Nulpunktet er (3, 0).

Parallelle linjer. To linjer er parallelle, når de har samme hældning a. Fx er y = 2x + 1 og y = 2x − 4 parallelle.
Sammenhængen med ligninger. Når du løser 2x + 1 = 7, spørger du: "For hvilket x giver funktionen y = 2x + 1 værdien 7?" På grafen svarer det til at finde det x, hvor linjen er i højden y = 7.

Opgave C Find forskriften

En ret linje har forskriften y = ax + b. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

Aflæs b og a på grafen-2-112345678-2-112345678xy(0, 2)(4, 4)y = 12x + 2
Her er b = 2, fordi grafen skærer y-aksen i (0, 2). Fra (0, 2) til (4, 4) går man 4 til højre og 2 op, så a = 24 = 12. Brug samme fremgangsmåde i opgaven.
  1. Find hældningen a for linjen gennem (2, 5) og (6, 17).
  2. Find hele forskriften for den linje.
  3. Find nulpunktet — det x, hvor grafen skærer x-aksen.
  4. Gør det samme for linjen gennem (−1, 8) og (3, −4): find forskriften og nulpunktet.
  5. Hvilken af linjerne y = 2x + 7 og y = −3x + 1 er stejlest? Begrund dit svar.
  6. Tegn grafen for y = 3x − 1 i koordinatsystemet herunder.
Tegn dine grafer her-2-112345678-6-4-2246810xy
Brug koordinatsystemet til punkt f. Sæt to punkter, og tegn linjen igennem dem.
Quiz · Modul 2

Test dig selv: lineære funktioner

Brug y = ax + b. Spørgsmålene stiger i sværhedsgrad.

1. I y = 3x − 5: hvad er hældningen a? Let
2. Hvor skærer y = 3x − 5 y-aksen? Let
3. Hvad er y i y = 2x + 1, når x = 3? Let
4. En linje går gennem (2, 4) og (5, 13). Hældningen er? Mellem
5. Hvad er nulpunktet for y = 2x − 8? Mellem
6. Hvilken linje er parallel med y = 4x − 7? Svær
7. Find forskriften for linjen gennem (1, 5) og (3, 11). Udfordring
0 / 7 rigtige Godt gået. Nu til graferne.

3 Aflæsning af grafer

En graf viser sammenhængen mellem x og y som en linje i et koordinatsystem. Du skal kunne aflæse værdier og forstå, hvad de betyder.

Sådan aflæser du et punkt

Vil du finde y ud fra et bestemt x, går du lodret op fra x-aksen til linjen og derefter vandret ind til y-aksen. Vil du den anden vej, gør du det modsatte.

1 2 3 4 1 2 3
Her aflæses: når x = 2, er y = 2. Den stiplede linje viser vejen — lodret op fra x = 2 til grafen, derefter vandret ind til y-aksen. Denne linje har forskriften y = x.

Regneregel: bestem a og b direkte fra grafen

Regneregel · aflæs forskrift
b aflæses, hvor linjen skærer y-aksen. a findes ved at gå 1 til højre og se, hvor mange enheder linjen går op (eller ned). Så har du y = ax + b.

Regneregel: skæring mellem to grafer

Regneregel · skæringspunkt
To linjer krydser hinanden dér, hvor de har samme x og samme y. Du finder punktet ved at sætte de to forskrifter lig med hinanden og løse ligningen.

Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Sæt lig: 2x = x + 3, så x = 3. Sæt ind: y = 2·3 = 6. Skæringspunktet er (3, 6).

Hverdagen i grafen. x kan være tid og y en pris, en afstand eller en mængde. Hældningen fortæller "hvor hurtigt", og skæringen med y-aksen fortæller "hvor man startede".

Opgave D Aflæs og regn efter

Alt i denne opgave kan aflæses på figuren — men du skal kunne vise ved regning, at aflæsningen passer. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

To grafer i samme koordinatsystem-2-112345678-4-22468xyden blå linjeden grønne linje
Aflæs på figuren. Tjek bagefter dine aflæsninger ved at regne efter.
  1. Aflæs b for hver af de to linjer.
  2. Aflæs a for hver af dem. Brug et trappetrin: hvor meget går linjen op eller ned, når du går 1 til højre?
  3. Skriv forskriften for hver linje.
  4. Aflæs skæringspunktet mellem de to linjer.
  5. Vis ved regning, at skæringspunktet er rigtigt: sæt de to forskrifter lig hinanden, og løs ligningen.
  6. Find nulpunktet for hver af de to linjer.
  7. Hvilken af linjerne er stejlest? Hvad kan du se på figuren, der viser det?
Quiz · Modul 3

Test dig selv: grafer

Kig på beskrivelserne og forskrifterne.

1. På grafen for y = x ovenfor: hvad er y, når x = 4? Let
2. En linje går nedad fra venstre mod højre. Hvad ved du om a? Let
3. To linjer krydser hinanden i (3, 5). Hvad betyder det? Mellem
4. En linje skærer y-aksen i (0, 2) og går 1 op for hvert 1 til højre. Forskriften er? Mellem
5. Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Svær
0 / 5 rigtige Sidste stop: den blandede quiz.
Afslutning

Blandet quiz — hele emnet

Spørgsmål på tværs af ligninger, funktioner og grafer, i stigende sværhedsgrad.

1. Løs 6x − 4 = 2x + 12. Let
2. Hvilken funktion har hældning 4 og skærer y-aksen i (0, −2)? Let
3. En taxa koster 40 kr. i start plus 12 kr. pr. km. Prisen y for x km er? Mellem
4. Med y = 12x + 40: hvad koster en tur på 5 km? Mellem
5. Med y = 12x + 40: hvor mange km kan man køre for 100 kr.? Svær
6. Løs 5(x − 2) = 3x + 8. Svær
7. Hvor skærer y = 3x + 1 og y = x + 7 hinanden? Udfordring
0 / 7 rigtige

Du kan altid gå tilbage og læse afsnittene igen, hvis et spørgsmål driller.

R Dine resultater

Løs opgaverne, så udfyldes din oversigt her automatisk. Skriv dit fornavn øverst, hvis du vil have dit resultat gemt.

ModulRigtigeBesvaret